Sesion 8 Actividad 1 Reporte de investigación Documental y de Campo
Investigación Documental y de Campo
Informe Final
“Los Números Complejos y su conocimiento
en la vida cotidiana”
José Luis Hernández Azpeitia
Junio 2018
Tabla de contenido
Introducción
Las matemáticas son una ciencia que está presente en nuestra vida cotidiana, sin embargo existe un conocimiento profundo de las implicaciones, la historia y el desarrollo de esta área académica.
Este desconocimiento generalizado nos lleva a pensar que existen numerosos temas que pueden ser fascinantes o de interés común para el público, pero la labor de difusión de esta ciencia tiene muchos tabúes y barreras que han dificultado el conocimiento popular.
Uno de los temas que más confusión puede generar es el de los Conjuntos Numéricos, ya que se tiende a pensar en los números como una consecuencia de contar, como si esto se tratara de una actividad natural, pero no se toma en cuenta que los números son una construcción derivada de la cultura y de la solución de problemas específicos, por lo que existe más de un tipo de números.
El desarrollo de los conjuntos numéricos va de la mano con el desarrollo de la historia de la matemática y en el quehacer fundamental científico de encontrar soluciones a problemas determinados, construyendo a partir del conocimiento y de las aportaciones de personajes ilustres para poder solución y por tanto desarrollar nuevas aplicaciones y herramientas a partir de dichas soluciones.
El caso de los números complejos, tiene además, el estigma del nombre “complejo” que se asocia frecuentemente a algo que es difícil de conocer, entender o utilizar. Esta preconcepción aleja a los estudiantes de entender a profundidad su significado, su verdadero potencial
Metodología
Objetivo general
Dar a conocer y profundizar en el tema de los números complejos, su desarrollo, sus aplicaciones y sus implicaciones para la vida cotidiana de las personas.
Elementos metodológicos
Objetivo General:
Conocer la construcción del conjunto de los números complejos Se buscó entender la familiaridad del concepto de número complejo entre gente no necesariamente especialista en el tema.
Objetivos específicos:
Entender la historia general de los conjuntos de números
Revisar el concepto de número complejo
Conocer su proceso de construcción
Revisar las aplicaciones comunes del conjunto de los números complejos
A través de esta investigación se busca responder a tres principales preguntas:
¿Qué tanto se conoce el concepto de número complejo?
¿Se sabe de cómo surge esta idea?
¿Se conoce para qué son útiles y cuáles pueden ser sus aplicaciones más comunes?
Plan de trabajo:
Revisión bibliográfica
Síntesis de temas principales
Elaboración del esquema de documento
Introducción
Historia de los números
Conjuntos de números
Construcción de números complejos
Propiedades de los números complejos
Aplicaciones más comunes
Conclusiones
Bibliografía
Elaboración de un borrador
Redacción de documento
Para responder a estas preguntas se buscó primero entender la historia del concepto de número complejo por lo que recurrimos a textos especializados de matemáticas. Particularmente de análisis numérico ya que es un campo que incluye su uso y por tanto su entendimiento es parte del dominio técnico.
1) Revisión e investigación documental
Se procedió a la revisión de textos de difusión de la ciencia y de teoría matemática para entender el panorama general de los números complejos, principalmente su historia y desarrollo, así como algunas aplicaciones comunes.
2) Entrevista con experto
Adicionalmente se realizó una entrevista con un profesional del campo de análisis de datos que nos dio un panorama de la utilidad del concepto de público en general, ya que se por lo general definió el concepto de números dependen de dos variables.
3) Encuesta
A partir de la investigación documental y la entrevista se generaron algunas hipótesis de las principales razones por las cuales el concepto no es completamente conocido o entendido. Estas hipótesis sirvieron como base para definir una encuesta y sondear, entre la población en general, el nivel de familiaridad con los conceptos relacionados con los números complejos.
Resultados
Poca familiaridad con las matemáticas avanzadas
Por lo general existe un reconocimiento de la utilidad de las matemáticas siempre y cuando exista una clara relación con la vida cotidiana. Al ser los números complejos un tema más especializado su nivel de comprensión entre el público en general es menor.
El principal uso que se les da a las matemáticas es la solución de problemas en la vida cotidiana.
Si bien puede existir familiaridad con el concepto de numero complejo, su entendimiento está limitado porque, por lo general no se le ve una aplicación práctica directa como podría ser el caso de la aritmética.
Desconocimiento del origen del concepto
El origen del concepto de Número Complejo responde a un desarrollo histórico de soluciones a problemas matemáticos de casos que no podían ser resueltos con la herramientas que se tenían.
Al Kharizmi (750-850) en su tratado de algebra propone algunas soluciones para ecuaciones cuadráticas restringidas únicamente a demostraciones para casos con respuestas positivas. Los métodos del álgebra son introducidos a la Italia renacentista por Gerardo de Cremona y Leonardo Pisano Fibonacci. Girolamo Cardano trabaja en los problemas sin solución de Cremona y de Fibonacci reconociendo que las ecuaciones no podían tener una solución positiva y por tanto propone la solución: a + √ −b sentando las bases de una serie de problemas con aparente imposibilidad de solución.
Las matemáticas básicas son las que se consideran como las más familiares, junto con la geometría y la aritmética, sin embargo temas como el cálculo que se consideran más avanzados no son tan familiares.
Explicaciones sumamente con poca relación con el público en general
Generalmente las explicaciones alrededor del origen del concepto de números complejos se vuelve sumamente técnica, debido a que depende en gran medida del álgebra, la notación y las propiedades de los conjuntos números, por lo que la asimilación entre el público en general se ve disminuida.
La nomenclatura que reciben los números complejos, y sus elementos asociados, como el concepto de número imaginario aunque tienen una razón de origen pertinente, son por lo general difíciles de asimilar por el público en general, ya que se hace referencia al significado literal de los nombres como “imaginario” o “complejo” lo que genera prejuicios o confusiones que nublan el entendimiento del concepto.
Dado que el concepto de Número Complejo hace referencia a un espacio abstracto, la comprensión del mismo debe ir de la mano del uso de metáforas que ayuden a la representación de los conceptos asociados.
Rafal Bombelli Autor de l’Algebra (1572, y 1579) introduce por primera vez el concepto de raíz cuadrada de un número negativo, dando origen al primer número imaginario.
En general existe menor familiaridad con los conjuntos numéricos más allá de los números naturales.
Los números complejos son números también
Los números complejos son una generalización y una extensión de las propiedades de los números naturales, por lo que su construcción, para una correcta comprensión depende de la adecuada asimilación de las propiedades de los números naturales.
Rene Descartes (1596-1650) aplica el algebra a las soluciones de geometría, descubriendo que hay ecuaciones con un numero infinito de soluciones.
Abraham de Moivre (1667-1754) provee una interpretación geométrica de los números complejos que posteriormente es retomada por Newton en 1698 para resolver de forma geométrica algunas de las fórmulas de Cardano a través del teorema de Moivre: (cos(θ) + I sin(θ))n = cos(nθ) + I sin(nθ)
Tienen una relación especial con la geometría
Los principales usos de los números complejos se dan en el cálculo y en el análisis de datos, porque son una representación práctica de fenómenos que suceden en dos dimensiones, por lo que simplifica procesos que dependen de dos variables.
L. Euler (1707-1783) introduce por primera vez la notación de números imaginarios i = √ −1 y visualiza la solución a la ecuación z^n = 1 como un polígono de lagos regulares, vinculando los avances de Descartes y de Moivre y haciendo una interpretación geométrica de la solución a partir de la fórmula
x + iy = r(cos θ + i sin θ). Posteriormente Euler define la famosa función exponencial y crea la expresión equivalente: e^iθ = cos θ + i sin θ. Vinculando la geometría, el plano complejo y las funciones exponenciales.
En la geometría los números complejos ayudan a la solución de problemas de rotación por lo que se vuelven útiles para todas aquellas problemáticas que tienen que ver con procesos cíclicos y regulares.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) llega a una solución geométrica similar a la de Euler pero no la publica hasta 1831, donde hace referencia por primera vez al término Números Complejos.
CONCLUSIONES
Aunque existe un conocimiento general de tópicos básicos de las matemáticas la gente no tiene un amplio dominio de temas más avanzados debido a una serie de razones que se enlistan a continuación:
Falta de relación con lo cotidiano
Las personas les cuesta trabajo asociar los conceptos como los números complejos ya que tienen poco conocimiento de las aplicaciones de los mismo y no los relacionan con operaciones básicas.
Explicar los usos y la importancia de los números complejos a partir de su relevancia en las ciencias, artes y programación, adicionalmente explicar que los números complejos poseen esencialmente las mismas características que los otros conjuntos numéricos pero que además poseen otras características especiales que los hacen más versátiles en ciertas circunstancias.
Nomenclatura poco común
Los nombres de los conceptos relacionados a los números complejos por lo general producen prejuicios que llevan al público en general a pensar que son temas difíciles, complicados o que tienen un origen complicado.
Hacer énfasis en que los nombres de los conceptos son solamente etiquetas y explicar el contexto, así como el significado de dichas etiquetas para despejar los posibles prejuicios que los nombres inducen.
Explicación muy técnica de su origen
El entendimiento de los números complejos se dificulta porque por lo general las fuentes que explican cómo se construye hacen poco énfasis en el proceso de la construcción de la solución a problemas matemáticos, y por lo general se salta de forma directa al álgebra de la solución por lo que se da poca oportunidad de generar un vínculo gradual con la problemática matemática que sea aprovechable y comprensible por el público en general.
Se recomienda el uso de una explicación relacionada con problemas de álgebra donde se construya el concepto de número complejo como una solución a un problema donde los otros conjuntos numéricos no son suficientes.
Necesidad de metáforas con el mundo natural
La compresión de conceptos abstractos como los números complejos sería más sencilla si se explican desde una perspectiva análoga al mundo natural.
En el caso de los números complejos es sencillo ya que tienen una relación directa con procesos geométricos como las rotaciones, lo que hace sencillo su explicación a partir de esta operación.
Siguientes pasos
El sondeo que se elaboró a partir de la encuesta cubre tópicos generales que ayudaron a dar forma a las hipótesis que se presentan en este reporte pero que no necesariamente van a profundidad, por lo que se recomienda hacer una serie de encuestas enfocadas en los siguientes:
1) medir la familiaridad de los términos relacionados con
2) detectar la necesidad de herramientas preferidas para la explicación y desarrollo de dichos conceptos
estas encuestas arrojan información que permita diseñar un contenido piloto para la difusión del tema y posteriormente se podrá evaluar la efectividad de dicho instrumento a partir del nivel de comprensión de los conceptos.
FUENTES
FUENTES PRIMARIAS (APA)
M. R. Spiegel (1970): “Teoría y problemas de Variable Compleja”, Serie de Compendios Schaum, McGraw-Hill, Mexico.
V.A. Kudryasvtsev and B.P. Demidovich (1981): “A brief course of Higher Mathematics”, Mir Publishers, Moscú.
T.A. Apostol (1981): “Calculus: Cálculuo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal”, Reverté, Barcelona.
M. R. Spiegel (1970): “Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas”, Serie de Compendios Schaum, McGraw-Hill, Mexico.
R. Calm, N. Coll, y M.R. Estela (1992): “Problemas de cálculo”, Micromar, Barcelona.
R. Courant and F. John (1976): “Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático”, Limusa, México.
T.M. Apostol, (1979): “Análisis Matemático”, Reverté, Barcelona.
FUENTES SECUNDARIAS
Introducción a los números complejos. Incluye una animación sobre las raíces de un complejo.
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/Basicas/Contenidos/Complejos/complejos1.html
Resumen sobre operaciones y propiedades de los números complejos.
http://www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/Numcomp.htm
Explicación de operaciones con números complejos.
http://www.satd.uma.es/a_valverde/aula-calculo/calculo.html
Historia de los números complejos
http://nti.educa.rcanaria.es/fundoro/es_confboye.htm
Historia de las matemáticas y de los conjuntos numéricos
http://caminantes.metropoliglobal.com/web/matematicas/historia.htm
Algunos ejercicios con números complejos.
http://matgen.usach.cl/complejos.pdf
http://www1.ceit.es/asignaturas/Algebra/Web/docs/Complejos95.ppt
ANEXOS
Guía de entrevista
- Introducción y presentación
- Indíquenos por favor su nombre, su edad y a que se dedica
- ¿Cuánto tiempo lleva realizando investigación en su especialidades
- ¿Cual es la utilidad de los números complejos, que problemáticas permiten resolver?
- ¿según su parecer cual es la importancia de los números complejos?
- ¿Aplica usted el uso de números complejos en su análisis?
- ¿Cual es la utilidad de los números complejos, que problemáticas permiten resolver?
- Agradecimiento y cierre
Respuestas a la entrevista
Indíquenos por favor su nombre, su edad y a que se dedica
Me llamo René Marcov soy Dr. en Ingeniería por la UNAM, tengo 56 años y me dedico al análisis y la ciencia de datos
Cuánto tiempo lleva realizando investigación en su especialidades
Llevo 20 años dedicándome a la investigación y llevo 3 años dirigiendo este grupo de investigadores independientes, ante la necesidad de desarrollar nuevos productos y métodos de análisis y también por la inquietud de tener mi propio negocio.
¿según su parecer cual es la importancia de los números complejos?
Los números complejos son un avance matemático muy importante que permitió proveer soluciones a una serie de fenómenos que tienen que ver con operaciones en dos y tres dimensiones, esto lo que quiere decir es que son
muy útiles para modelar fenómenos que requieren dos o tres variables, como puede ser el caso de la rotación en el espacio de objetos, se puede aplicar al control remoto de vehículos o robots o para analizar la evolución en el tiempo de fenómenos físicos, por lo que es muy útil y tiene aplicaciones que simplifican los modelos matemáticos, como en el caso de las rotaciones, se vuelve muy fácil expresar y hacer operaciones cuando se incluyen variables complejas en ecuaciones de transformación, rotación y traslación.
muy útiles para modelar fenómenos que requieren dos o tres variables, como puede ser el caso de la rotación en el espacio de objetos, se puede aplicar al control remoto de vehículos o robots o para analizar la evolución en el tiempo de fenómenos físicos, por lo que es muy útil y tiene aplicaciones que simplifican los modelos matemáticos, como en el caso de las rotaciones, se vuelve muy fácil expresar y hacer operaciones cuando se incluyen variables complejas en ecuaciones de transformación, rotación y traslación.
¿Aplica usted el uso de números complejos en su análisis?
No siempre ni en todos los casos, pero como le comentaba, hay problemáticas muy específicas que se solucionan de forma más elegante y sencilla, de forma directa e indirecta, nos facilita en muchas ocasiones la expresión matemática y las operaciones con estos objetos.
¿Cual es la utilidad de los números complejos, que problemáticas permiten resolver?
si, los utilizamos todo el tiempo, principalmente cuando analizamos datos que tienen que ver con campos eléctricos o electromagnéticos, también cuando hacemos análisis numérico de dos o más variables en varias dimensiones y como te había mencionado con anterioridad, para hacer predicciones de movimiento y rotación cuando apoyamos a diseñar controles de movimiento para robots, vehículos autónomos o para la programación de ambientes virtuales donde la rotación de los objetos es fundamental.
Estructura de encuesta
- ¿Has estudiado matemáticas?
- si
- no
- ¿Te gustan las matemáticas?
- si
- no
- ¿Consideras que las matemáticas son útiles para tu vida diaria?
- si
- no
- no se
- Selecciona la razón principal por la que consideras importantes las matemática (selecciona la que consideres más importante)
- desarrollan el pensamiento lógico y sistemático
- son una forma de solución de problemas
- explican la realidad
- son básicas para otros campos de conocimiento
- creo que se les da demasiada importancia
- ¿En qué ocasiones has aplicado la matemáticas? (selecciona todas las que aplican)
- Resolver un problema
- Ganar dinero
- Para trabajos de la escuela
- Durante mi carrera
- En mi trabajo
- En mi vida cotidiana
- No las uso
- ¿Que ramas de la matemática te son más familiares? (selecciona todas las que aplican)
- aritmética
- geometría
- cálculo
- estadística
- probabilidad
- básicas
- ninguna de las anteriores
- ¿Sabes que existen más de un conjunto de números?
- si
- no
- no se que es un conjunto
- ¿Has escuchado hablar de los números complejos?
- si
- no
- Selecciona los conjuntos numéricos que conoces (selecciona todas las que aplican)
- normales
- reales
- naturales
- imaginarios
- irracionales
- racionales
- complejos
- ¿Para qué áreas de problemática crees que son útiles los números complejos? (selecciona todas las que aplican)
- No se que es un número complejo
- Parfa el cálculo
- Para el análisis numérico
- Para resolver problemas de aritmética
- Para la geometría
- ninguna de las anteriores
Gráficas
La mayoría de los encuestados ha estudiado matemáticas
Pero a la quinta parte no les gustan realmente
La principal importancia de las matemáticas radica en su capacidad de desarrollar el pensamiento ordenado y la lógica
La principal aplicación que la gente da a la matemática es para resolver problemas en la vida cotidiana
sin embargo, la familiaridad con la matemática se centra en sus ramas más básicas, lo que implica que hay desconocimiento de temas importantes
Y aunque se conocen temas más avanzados como conjuntos numéricos, 1 de cada 4 personas no conoce los números complejos
Pero no se percibe que exista certeza generalizada sobre su uso o aplicación
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